Logarithm and Exponential Questions with Answers and Solutions - Grade 12

Grade 12 questions on logarithm and exponential with answers and solutions are presented.

Free Practice for SAT, ACT and Compass Math tests

Solve the equation (1/2)2x + 1 = 1 Solve x ym = y x3 for m. Given: log8(5) = b. Express log4(10) in terms of b. Simplify without calculator: log6(216) + [ log(42) - log(6) ] / log(49) Simplify without calculator: ((3-1 - 9-1) / 6)1/3 Express (logxa)(logab) as a single logarithm. Find a so that the graph of y = logax passes through the point (e , 2). Find constant A such that log3 x = A log5x for all x > 0. Solve for x the equation log [ log (2 + log2(x + 1)) ] = 0 Solve for x the equation 2 x b4 logbx = 486 Solve for x the equation ln (x - 1) + ln (2x - 1) = 2 ln (x + 1) Find the x intercept of the graph of y = 2 log( sqrt(x - 1) - 2) Solve for x the equation 9x - 3x - 8 = 0 Solve for x the equation 4x - 2 = 3x + 4 If logx(1 / 8) = -3 / 4, than what is x? Solutions to the Above Problems Rewrite equation as (1/2)2x + 1 = (1/2)0 Leads to 2x + 1 = 0 Solve for x: x = -1/2 Divide all terms by x y and rewrite equation as: ym - 1 = x2 Take ln of both sides (m - 1) ln y = 2 ln x Solve for m: m = 1 + 2 ln(x) / ln(y) Use log rule of product: log4(10) = log4(2) + log4(5) log4(2) = log4(41/2) = 1/2 Use change of base formula to write: log4(5) = log8(5) / log8(4) = b / (2/3) , since log8(4) = 2/3 log4(10) = log4(2) + log4(5) = (1 + 3b) / 2 log6(216) + [ log(42) - log(6) ] / log(49) = log6(63) + log(42/6) / log(72) = 3 + log(7) /2 log(7) = 3 + 1/2 = 7/2 ((3-1 - 9-1) / 6)1/3 = ((1/3 - 1/9) / 6)1/3 = ((6 / 27) / 6)1/3 = 1/3 Use change of base formula: (logxa)(logab) = logxa (logxb / logxa) = logxb 2 = logae a2 = e ln(a2) = ln e 2 ln a = 1 a = e1/2 Use change of base formula using ln to rewrite the given equation as follows ln (x) / ln(3) = A ln(x) / ln(5) A = ln(5) / ln(3) Rewrite given equation as: log [ log (2 + log2(x + 1)) ] = log (1) , since log(1) = 0. log (2 + log2(x + 1)) = 1 2 + log2(x + 1) = 10 log2(x + 1) = 8 x + 1 = 28 x = 28 - 1 Note that b4 logbx = x4 The given equation may be written as: 2x x4 = 486 x = 2431/5 = 3 Group terms and use power rule: ln (x - 1)(2x - 1) = ln (x + 1)2 ln function is a one to one function, hence: (x - 1)(2x - 1) = (x + 1)2 Solve the above quadratic function: x = 0 and x = 5 Only x = 5 is a valid solution to the equation given above since x = 0 is not in the domain of the expressions making the equations. Solve: 0 = 2 log( sqrt(x - 1) - 2) Divide both sides by 2: log( sqrt(x - 1) - 2) = 0 Use the fact that log(1)= 0: sqrt(x - 1) - 2 = 1 Rewrite as: sqrt(x - 1) = 3 Raise both sides to the power 2: (x - 1) = 32 x - 1 = 9 x = 10 Given: 9x - 3x - 8 = 0 Note that: 9x = (3x)2 Equation may be written as: (3x)2 - 3x - 8 = 0 Let y = 3x and rewite equation with y: y2 - y - 8 = 0 Solve for y: y = ( 1 + sqrt(33) ) / 2 and ( 1 - sqrt(33) ) / 2 Since y = 3x, the only acceptable solution is y = ( 1 + sqrt(33) ) / 2 3x = ( 1 + sqrt(33) ) / 2 Use ln on both sides: ln 3x = ln [ ( 1 + sqrt(33) ) / 2] Simplify and solve: x = ln [ ( 1 + sqrt(33) ) / 2] / ln 3 Given: 4x - 2 = 3x + 4 Take ln of both sides: ln ( 4x - 2 ) = ln ( 3x + 4 ) Simplify: (x - 2) ln 4 = (x + 4) ln 3 Expand: x ln 4 - 2 ln 4 = x ln 3 + 4 ln 3 Group like terms: x ln 4 - x ln 3 = 4 ln 3 + 2 ln 4 Solve for x: x = ( 4 ln 3 + 2 ln 4 ) / (ln 4 - ln 3) = ln (34 * 42) / ln (4/3) = ln (34 * 24) / ln (4/3) = 4 ln(6) / ln(4/3) Rewrite the given equation using exponential form: x- 3 / 4 = 1 / 8 Raise both sides of the above equation to the power -4 / 3: (x- 3 / 4)- 4 / 3 = (1 / 8)- 4 / 3 simplify: x = 84 / 3 = 24 = 16

Logaritma dan Eksponensial Pertanyaan dengan Jawaban dan Solusi - Grade 12 Grade 12 pertanyaan tentang logaritma dan eksponensial dengan jawaban dan solusi yang disajikan. Gratis Praktek untuk SAT, ACTdan tes Matematika Compass     Memecahkan persamaan (1/2) 2x + 1 = 1     Memecahkan x ym = x3 y untuk m.     Mengingat: log8 (5) = b. Ekspres log4 (10) dalam hal b.     Sederhanakan tanpa kalkulator: log6 (216) + [log (42) - log (6)] / log (49)     Sederhanakan tanpa kalkulator: ((3-1 - 9-1) / 6) 1/3     Express (logxa) (logab) sebagai logaritma tunggal.     Cari sehingga grafik dari y = logax melalui titik (e, 2).     Cari konstan Sebuah sehingga log3 x = A log5x     untuk semua x> 0.     Memecahkan persamaan x log [log (2 + log2 (x + 1))] = 0     Memecahkan untuk x persamaan 2 x b4 logbx = 486     Memecahkan untuk x persamaan ln (x - 1) + ln (2x - 1) = 2 ln (x + 1)     Cari mencegat x dari grafik y = 2 log (sqrt (x - 1) - 2)     Memecahkan untuk x persamaan 9x - 3x - 8 = 0     Memecahkan untuk x persamaan 4x - 2 = 3x + 4     Jika logx (1/8) = -3 / 4, dari apa yang x? Solusi untuk Masalah Di atas     Tulis ulang persamaan sebagai (1/2) 2x + 1 = (1/2) 0     Menghasilkan 2x + 1 = 0     Selesaikan untuk x: x = -1 / 2     Bagilah semua persyaratan oleh xy dan menulis ulang persamaan sebagai: ym - 1 = x2     Dalam mengambil dari kedua sisi (m - 1) ln y = 2 ln x     Memecahkan untuk m: m = 1 + 2 ln (x) / ln (y)     Gunakan hukum log Produk: log4 (10) = log4 (2) + log4 (5)     log4 (2) = log4 (41/2) = 1/2     Gunakan perubahan rumus dasar untuk menulis: log4 (5) = log8 (5) / log8 (4) = b / (2/3), karena log8 (4) = 2/3     log4 (10) = log4 (2) + log4 (5) = (1 + 3b) / 2     log6 (216) + [log (42) - log (6)] / log (49)     = Log6 (63) + log (42/6) / log (72)     = 3 + log (7) / 2 log (7) = 3 + 1/2 = 7/2     ((3-1 - 9-1) / 6) 1/3     = ((1/3 - 1/9) / 6) 1/3     = ((6/27) / 6) 1/3 = 1/3     Gunakan perubahan rumus dasar: (logxa) (logab)     = Logxa (logxb / logxa) = logxb     2 = logae     a2 = e     ln (a2) = ln e     2 ln a = 1     a = e1 / 2     Gunakan perubahan rumus dasar menggunakan ln untuk menulis ulang persamaan yang diberikan sebagai berikut     ln (x) / ln (3) = A ln (x) / ln (5)     A = ln (5) / ln (3)     Tulis ulang persamaan diberikan sebagai: log [log (2 + log2 (x + 1))] = log (1), karena log (1) = 0.     log (2 + log2 (x + 1)) = 1     2 + log2 (x + 1) = 10     log2 (x + 1) = 8     x + 1 = 28     x = 28-1     Perhatikan bahwa logbx b4 = x4     Persamaan yang diberikan dapat ditulis sebagai: 2x x4 = 486     x = 2431/5 = 3     Grup syarat dan menggunakan aturan daya: ln (x - 1) (2x - 1) = ln (x + 1) 2     Fungsi ln adalah fungsi satu ke satu, maka: (x - 1) (2x - 1) = (x + 1) 2     Memecahkan fungsi kuadrat di atas: x = 0 dan x = 5     Hanya x = 5 adalah solusi yang valid untuk persamaan yang diberikan di atas karena x = 0 bukan dalam domain dari ekspresi membuat persamaan.     Memecahkan: 0 = 2 log (sqrt (x - 1) - 2)     Membagi kedua sisi dengan 2: log (sqrt (x - 1) - 2) = 0     Gunakan fakta bahwa log (1) = 0: sqrt (x - 1) - 2 = 1     Menulis ulang sebagai: sqrt (x - 1) = 3     Naikkan kedua belah pihak untuk kekuatan 2: (x - 1) = 32     x - 1 = 9     x = 10     Mengingat: 9x - 3x - 8 = 0     Perhatikan bahwa: 9x = (3x) 2     Persamaan dapat ditulis sebagai: (3x) 2 - 3x - 8 = 0     Misalkan y = persamaan 3x dan rewite dengan y: y2 - y - 8 = 0     Memecahkan untuk y: y = (1 + sqrt (33)) / 2 dan (1 - sqrt (33)) / 2     Karena y = 3x, satu-satunya solusi yang dapat diterima adalah y = (1 + sqrt (33)) / 2     3x = (1 + sqrt (33)) / 2     Menggunakan ln di kedua sisi: ln 3x = ln [(1 + sqrt (33)) / 2]     Menyederhanakan dan memecahkan: x = ln [(1 + sqrt (33)) / 2] / ln 3     Mengingat: 4x - 2 = 3x + 4     Dalam mengambil dari kedua sisi: ln (4x - 2) = ln (3x + 4)     Sederhanakan: (x - 2) ln 4 = (x + 4) Dalam 3     Memperluas: ln x 4 - 2 ln 4 = ln x 3 + 4 ln 3     Grup seperti istilah: x ln 4 - x 3 = 4 ln ln 3 + 2 ln 4     Selesaikan untuk x: x = (4 ln 3 + 2 ln 4) / (ln 4 - ln 3) = ln (34 * 42) / ln (4/3) = ln (34 * 24) / ln (4/3 )     = 4 ln (6) / ln (4/3)     Tulis ulang persamaan yang diberikan menggunakan bentuk eksponensial: x-3/4 = 1/8     Angkat kedua sisi persamaan di atas untuk kekuatan -4 / 3: (x-3/4) - 4/3 = (1/8) - 4/3     menyederhanakan: x = 84/3 = 24 = 16

Trigonometry Problems and Questions with Solutions - Grade 11

Grade 11 trigonometry problems and questions with answers and solutions are presented.

A ferris wheel with a radius of 25 meters makes one rotation every 36 seconds. At the bottom of the ride, the passenger is 1 meter above the ground. a) Let h be the height, above ground, of a passenger. Determine h as a function of time if h = 51 meter at t = 0. b) Find the height h after 45 seconds. Linda measures the angle of elevation from a point on the ground to the top of the tree and find it to be 35o. She then walks 20 meters towards the tree and finds the angle of elevation from this new point to the top of the tree to be 45o. Find the height of the tree. (Round answer to three significant digits) From the top of a cliff 200 meters high, the angles of depression of two fishing boats in the same line of sight on the water are 13 degrees and 15 degrees. How far apart are the boats? (Round your answer to 4 significant digits) Prove that [ cos(x) - sin(x) ][ cos(2x) - sin(2x) ] = cos(x) - sin(3x) The graph of function f is the graph of function g(x) = a sin(x - pi/3) translated vertically by 2. Also f(pi/2) = 1. Find a formula in terms of x for function f. Find sin(x) and tan(x) if cos(pi/2 - x) = - 3/5 and sin(x + pi/2) = 4/5? Find the exact value of [ tan (25o)+ tan (50o ] / [ 1 - tan( 25o) tan(50o) ] What is the angle B of triangle ABC, given that A = 46o, b = 4 and c = 8?(Note: side a faces angle A, side b faces angle B and side c faces angle C). Find the exact value of tan (s + t) given that sin s = 1/4, with s in quadrant 2, and sin t = -1/2, with t in quadrant 4. Find all angles of a triangle with sides 9, 12 and 15. Write an equation for a sine function with an amplitude of 5/3 , a period of pi/2, and a vertical shift of 4 units up. Find the exact values of cos (13pi/12). Two gears are interconnected. The smaller gear has a radius of 4 inches, and the larger gear has a radius of 10 inches. The smaller gear rotates 890 degrees in 4 seconds. What is the angular speed, in degrees per minute, of the larger rotate? A ladder of length 20 meters is resting against the wall. The base of the ladder is x meters away from the base of the wall and the angle made by the wall and the ladder is t. a) Find x in terms of t. b) Starting from t = 0 (the ladder against the wall) and then gradually increase angle t; for what size of angle t will x be the quarter of the length of the ladder? Solutions to the Above Problems a) Let P be the position of the passenger (see figure below) . The height h of the passenger is given by h = 1 + 25 + y = y + 26 y depends on the angle of rotation A. sin(pi/2 - A) = y/25 which gives y = 25 cos(A) Angle A depends on the angular speed w as follws A = w t where t is the time. The angular speed w is given by w = 2pi / 36 = Pi / 18 (radians/second) We now substitute to find h as follows h(t) = 25 cos( (pi/18) t) + 26 , where t is in seconds and y in meters. b) h(45) = 25 cos( (pi/18) 45) + 26 = 25 cos(3pi/2) + 26 = 26 meters. Using the figure belwo we write the following equations: tan(35o) = h / x and tan(45o) = h / (x - 20) , where h is the height of the tree. Solve both equations for x to find x = h / tan(35o) and x = h / tan(45o) + 20 Which gives h / tan(35o) = h / tan(45o) + 20 Solve for h; h = [ 20 tan(35o) tan(45o) ] / [ tan(45o) - tan(35o) ] = 46.7 meters (3 significant digits) . Using the figure belwo we write the following equations: tan(75o) = y / 200 and tan(87o) = (y + x) / 200 Eliminate y from the two equations and solve for x: x = 200 [ tan(87o) - tan(75o) ] = 3070 meters (rounded to 4 significant figures) . Start with right hand side: cos(x) - sin(3x) = cos(x) - sin( x + 2x) = cos(x) - sin(x)cos(2x) - cos(x)sin(2x) We now expand the left hand side: [ cos(x) - sin(x) ][ cos(2x) - sin(2x) ] = cos(x) cos(2x) - cos(x) sin(2x) - sin(x) cos(2x) + sin(x) sin(2x) Use the identities cos(2x) = 1 - 2 sin2 and sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) to transform the first two terms (only) in the above expression. = cos(x)(1 - 2 sin2) + sin(x) 2 sin(x) cos(x) - cos(x) sin(2x) - sin(x) cos(2x) = cos(x) - 2 cos(x) sin2 + 2 cos(x) sin2 - cos(x) sin(2x) - sin(x) cos(2x) = cos(x) - cos(x) sin(2x) - sin(x) cos(2x) The left hand side has been transformed so that it is equal to the right hand side. f has the following form f(x) = a sin(x - pi/3) + 2 : shifting graph of g 2 units up. f(pi/2) = a sin(pi/2 - pi/3) + 2 = 1 Solve for a to find a = -2 f(x) = -2 sin(x - pi/3) + 2 Expand and simplify: cos(pi/2 - x) = cos(pi/2)cos(x) + sin(pi/2)sin(x) = sin(x) = -3/5 Expand and simplify: sin(x + pi/2) = sin(x) cos(pi/2) + cos(x) sin(pi/2) = cos(x) = 4/5 tan(x) = sin(x) / cos(x) = (-3/5) / (4/5) = -3/4 The addition formula for the tangent may be used to write [ tan (25o)+ tan (50o) ] / [ 1 - tan( 25o) tan(50o) ] = tan(25o + 50o) = tan(75o) = tan(45o + 30o) = [ tan(45o) + tan(30o) ] / [1 - tan(45o)tan(30o) ] = [ 1 + sqrt(3) / 3 ] / [ 1 - 1*sqrt(3) / 3 ] = sqrt(3) + 2 Use cosine rule to find side a a = sqrt(16 + 64 - 2*4*8*cos(46o)) We now use the sine rule to find angle B as follows sin(B) / 4 = sin(A) / a B = arcsin (4 sin(A) / a) = 29 degrees (rounded to the nearest unit) Given sin(s) = 1/4 and sin(t) = -1/2 and their quadrants, find cos(s) and cos(t). cos(s) = - sqrt(15) / 4 and cos(t) = sqrt(3) / 2 We now expand: tan (s + t) = sin(s + t) / cos(s + t) = [ sin(s)cos(t) + cos(s)sin(t) ] / [ cos(s)cos(t) - sin(s)sin(t) ] Substitute = - [ 4 sqrt(3) + sqrt(15) ] / 11 Note that 152 = 122 + 92 which means that the triangle in question is a right trangle. Let A be the angle facing side with length 9; hence sin(A) = 9/15 A = 37o (rounded to the nearest degree) The third angle = 90o - 37o = 53o y = (5/3) sin(B x) + 4 , B > 0 2 pi / B = pi/2 , solve for B: B = 4 y = (5/3) sin(4 x) + 4 cos(13 pi/12) = cos(pi/12 + pi) = - cos(pi/12) = - cos( (1/2)(pi/6) ) = - sqrt [ ( (1/2)(1 + cos(pi/6)) ] half angle formula = - sqrt [ 1/2 + srqt(3) / 4 ] Let R1 and R2 be the radii of gear 1 and 2. Let S1 and S2 be the arcs of rotation of gears 1 and 2. The interconnected gears have equal tangential velocity (measured in inches/second), therefore arcs S1 and S2 are equal in length. R1 * t1 = R2 * t2 t1 and t2 are the angles of rotation of the larger and smaller gears respectively. 10 * t1 = 4 * 890o t1 = 356o Angular speed = 356o / 4 second = 89o / second = 89o * 60 / (1 second * 60) = 5340o / minute . The ladder, the wall and the ground make a rigth a right triangle. Hence a) tan(t) = x / 20 or x = 20 tan(t) b) x = (1/4) 20 = 20 tan(t) Solve for t: t = arctan(1/4) = 14o (rounded to 2 significant digits)

Trigonometri Masalah dan Pertanyaan dengan Solusi - Kelas 11 Masalah trigonometri kelas 11 dan pertanyaan dengan jawaban dan solusi yang disajikan.     Sebuah roda Ferris dengan radius 25 meter membuat satu putaran setiap 36 detik. Di bagian bawah perjalanan, penumpang adalah 1 meter di atas tanah.     a) Misalkan h adalah ketinggian, di atas tanah, dari penumpang. Tentukan h sebagai fungsi waktu jika h = 51 meter di t = 0.     b) Tentukan h tinggi setelah 45 detik.     Linda mengukur sudut elevasi dari titik di tanah ke puncak pohon dan merasa menjadi 35o. Dia kemudian berjalan 20 meter ke arah pohon itu dan menemukan sudut elevasi dari titik baru ke atas pohon untuk menjadi 45o. Cari ketinggian pohon. (Jawaban Putaran ke tiga digit signifikan)     Dari puncak tebing 200 meter, sudut depresi dari dua kapal nelayan di baris yang sama dari pandangan di atas air adalah 13 derajat dan 15 derajat. Seberapa jauh terpisah adalah perahu? (Bulatkan jawaban Anda sampai 4 angka signifikan)     Buktikan bahwa [cos (x) - sin (x)] [cos (2x) - sin (2x)] = cos (x) - sin (3x)     Grafik fungsi f adalah grafik fungsi g (x) = a sin (x - pi / 3) diterjemahkan secara vertikal dengan 2. Juga f (pi / 2) = 1. Menemukan formula dalam hal x untuk fungsi f.     Cari dosa (x) dan tan (x) jika cos (pi / 2 - x) = - 3/5 dan dosa (x + pi / 2) = 4/5?     Cari nilai yang tepat dari [tan (25o) + tan (50o] / [1 - tan (25o) tan (50o)]     Apakah B sudut segitiga ABC, mengingat bahwa A = 46o, b = 4 dan c = 8? (Catatan: sisi menghadapi sudut A, sisi b menghadapi sudut B dan sisi c menghadapi sudut C).     Cari nilai yang tepat dari tan (s + t) mengingat bahwa dosa s = 1/4, dengan di kuadran 2, dan dosa t = -1 / 2, dengan t pada kuadran 4.     Cari semua sudut dari sebuah segitiga dengan sisi 9, 12 dan 15.     Menulis persamaan untuk fungsi sinus dengan amplitudo 5/3, masa pi / 2, dan pergeseran vertikal sampai 4 unit.     Menemukan nilai-nilai yang tepat dari cos (13pi/12).     Dua roda gigi saling berhubungan. Roda yang lebih kecil memiliki radius 4 inci, dan roda gigi yang lebih besar memiliki radius 10 inci. Gigi kecil berputar 890 derajat dalam 4 detik. Berapa kecepatan sudut, dalam derajat per menit, dari memutar yang lebih besar?     Sebuah tangga panjang 20 meter sedang beristirahat dinding. Dasar tangga adalah meter x jauh dari dasar dinding dan sudut yang dibuat oleh dinding dan tangga adalah t.     a) Tentukan x dalam hal t.     b) Mulai dari t = 0 (tangga ke dinding) dan kemudian secara bertahap meningkatkan t sudut, karena apa ukuran t sudut x akan menjadi kuartal dari panjang tangga? Solusi untuk Masalah Di atas     a) Misalkan P adalah posisi penumpang (lihat gambar bawah)     roda Ferris masalah solusi.     H ketinggian penumpang diberikan oleh     h = 1 + 25 + y = y + 26     y tergantung pada sudut rotasi dari A.     dosa (pi / 2 - A) = y/25 yang memberikan y = 25 cos (A)     Sudut A tergantung pada kecepatan sudut w sebagai follws     A = w t dimana t adalah waktu.     Kecepatan w sudut diberikan oleh     w = 2pi / 36 = Pi / 18 (radian / detik)     Kami sekarang menemukan pengganti h sebagai berikut h (t) = 25 cos ((pi/18) t) + 26, dimana t dalam detik dan y dalam meter.     b) h (45) = 25 cos ((pi/18) 45) + 26 = 25 cos (3pi / 2) + 26 = 26 meter.     Menggunakan belwo tokoh kita menulis persamaan berikut:     tan (35o) = h / x dan tan (45o) = h / (x - 20), di mana h adalah tinggi dari pohon.     Memecahkan kedua persamaan untuk x untuk menemukan     x = h / tan (35o) dan x = h / tan (45o) + 20     Yang memberikan h / tan (35o) = h / tan (45o) + 20     Memecahkan untuk h, h = [20 tan (35o) tan (45o)] / [tan (45o) - tan (35o)] = 46,7 meter (3 digit signifikan)     pohon masalah solusi.     Menggunakan belwo tokoh kita menulis persamaan berikut:     tan (75o) = y / 200 dan tan (87o) = (y + x) / 200     Hilangkan y dari dua persamaan dan memecahkan untuk x: x = 200 [tan (87o) - tan (75o)] = 3070 meter (dibulatkan menjadi 4 angka penting)     perahu masalah solusi.     Mulailah dengan sisi kanan: cos (x) - sin (3x) = cos (x) - sin (x + 2x)     = Cos (x) - sin (x) cos (2x) - cos (x) sin (2x)     Kami sekarang memperluas sisi kiri: [cos (x) - sin (x)] [cos (2x) - sin (2x)]     = Cos (x) cos (2x) - cos (x) sin (2x) - sin (x) cos (2x) + sin (x) sin (2x)     Gunakan identitas cos (2x) = 1 - 2 sin2 dan dosa (2x) = 2 sin (x) cos (x) untuk mengubah dua istilah pertama (hanya) dalam ekspresi di atas.     = Cos (x) (1 - 2 sin2) + sin (x) 2 sin (x) cos (x) - cos (x) sin (2x) - sin (x) cos (2x)     = Cos (x) - 2 cos (x) sin2 + 2 cos (x) sin2 - cos (x) sin (2x) - sin (x) cos (2x)     = Cos (x) - cos (x) sin (2x) - sin (x) cos (2x)     Sisi kiri telah berubah sehingga sama dengan sisi kanan.     f memiliki bentuk berikut f (x) = a sin (x - pi / 3) + 2: pergeseran grafik dari g sampai 2 unit.     f (pi / 2) = a sin (pi / 2 - pi / 3) + 2 = 1     Memecahkan untuk menemukan = -2     f (x) = -2 sin (x - pi / 3) + 2     Memperluas dan menyederhanakan: cos (pi / 2 - x) = cos (pi / 2) cos (x) + sin (pi / 2) sin (x) = sin (x) = -3 / 5     Memperluas dan menyederhanakan: sin (x + pi / 2) = sin (x) cos (pi / 2) + cos (x) sin (pi / 2) = cos (x) = 4/5     tan (x) = sin (x) / cos (x) = (-3 / 5) / (4/5) = -3 / 4     Rumus Selain untuk tangen dapat digunakan untuk menulis     [Tan (25o) + tan (50o)] / [1 - tan (25o) tan (50o)] = tan (25o + 50o)     = Tan (75o)     = Tan (45o + 30o)     = [Tan (45o) + tan (30o)] / [1 - tan (45o) tan (30o)]     = [1 + sqrt (3) / 3] / [1 - 1 * sqrt (3) / 3]     = Sqrt (3) + 2     Gunakan aturan cosinus untuk menemukan sisi     sebuah sqrt = (16 + 64 - 2 * 4 * 8 * cos (46o))     Kami sekarang menggunakan aturan sinus untuk menemukan sudut B sebagai berikut     dosa (B) / 4 = sin (A) / a     B = arcsin (4 sin (A) / a) = 29 derajat (dibulatkan ke satuan terdekat)     Mengingat dosa (s) = 1/4 dan sin (t) = -1 / 2 dan kuadran mereka, menemukan cos (s) dan cos (t).     cos (s) = - sqrt (15) / 4 dan cos (t) = sqrt (3) / 2     Kami sekarang memperluas:     tan (s + t) = sin (s + t) / cos (s + t)     = [Sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)] / [cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)]     Menggantikan     = - [4 sqrt (3) + sqrt (15)] / 11     Perhatikan bahwa 152 = 122 + 92 yang berarti bahwa segitiga yang dimaksud adalah trangle benar.     Misalkan A adalah sudut menghadap sisi dengan panjang 9; maka sin (A) = 9/15     Sebuah 37o = (dibulatkan ke derajat terdekat)     Sudut ketiga = 90o - 37o = 53o     y = (5/3) dosa (B x) + 4, B> 0     2 pi / B = pi / 2, memecahkan B: B = 4     y = (5/3) dosa (4 x) + 4     cos (13 pi/12) = cos (pi/12 + pi) = - cos (pi/12)     = - Cos ((1/2) (pi / 6)) = - sqrt [((1/2) (1 + cos (pi / 6))] Rumus setengah sudut     = - Sqrt [1/2 + srqt (3) / 4]     Biarkan R1 dan R2 adalah jari-jari roda gigi 1 dan 2. Mari S1 dan S2 menjadi busur rotasi roda gigi 1 dan 2. Roda gigi yang saling berhubungan memiliki kecepatan tangensial yang sama (diukur dalam inci / detik), sehingga busur S1 dan S2 adalah sama panjangnya.     * R1 = R2 * t1 t2     t1 dan t2 adalah sudut rotasi dari roda gigi yang lebih besar dan lebih kecil masing-masing.     10 * t1 = 4 * 890o     t1 = 356o     Sudut kecepatan = 356o / 4 detik = 89o / detik     = 89o * 60 / (1 detik * 60) = 5340o / menit     gigi masalah solusi.     Tangga, dinding dan tanah membuat rigth segitiga siku-siku. Karenanya     a) tan (t) = x / 20 atau x = 20 tan (t)     b) x = (1/4) 20 = 20 tan (t) untuk t Memecahkan: t = arctan (1/4) = 14o (dibulatkan menjadi 2 angka penting)

Geometry Problems with Solutions and Answers for Grade 11

Grade 11 geometry problems with detailed solutions are presented.

The two circles below are concentric (have same center). The radius of the large circle is 6 and that of the small circle is 10. What is the length of the chord AB? . Point A is inside the square BCDE whose side length is 20. The length of AB is 9 and the length of AE is 13. Find x the length of AC. . Find all points of intersections of the circle x2 + 2x + y2 + 4y = -1 and the line x - y = 1 Find the area of the triangle enclosed by the x - axis and the lines y = x and y = -2x + 3. Find the length of the third side of a triangle if the area of the triangle is 18 and two of its sides have lengths of 5 and 10. In the figure below points A, B, C and D are on a circle. Point O is the intersection of chords AC and BD. The area of triangle BOC is 15; the lenght of AO is 10 and the length of OB is 5. What is the area of triangle AOD? . Solutions to the Above Problems If we draw a radius in the small circle to the point of tangency, it will be at right angle with the chord.(see figure below). If x is half the length of AB, r is the radius of the small circle and R the radius of the large circle then by Pythagora's theorem we have: r2 + x2 = R2 62 + x2 = 102 Solve for x: x = 8 Length of AB = 2x = 16 . Use cosine law in triangle ABE: 132 = 202 + 92 - 2(20)(9)cos(T) Use cosine law in triangle ACB: x2 = 202 + 92 - 2(20)(9)cos(90o - T) . Note that cos(90o - T) = sin(T) and rewrite the second equation as Use cosine law in triangle ACB: x2 = 202 + 92 - 2(20)(9)sin(T) Solve the first equation for cos(T). cos(T) = 13/15 Use trigonometric identity to find sin(T) = 2 sqrt(14) / 15 Substitute sin(T) by 2 sqrt(14) / 15 in the third equation and solve for x x = sqrt( 481 - 48 sqrt( 14 ) ) = 17.4 (approximated to 3 significant digits) Solve x - y = 1 for x (x = 1 + y) and substitute in the equation of the circle to obtain: (1 + y)2 + 2·(1 + y) + y2 + 4y = -1 Write the above quadratic equation in standard form and solve it to obtain y = - 2 + sqrt(2) and y = - 2 - sqrt(2) Use x = 1 + y to find x Points of intersection: ( -1 + sqrt(2), - 2 + sqrt(2) ) and ( -1 - sqrt(2) , -2 - sqrt(2) ) We first graph the lines y = x and y = -2x + 3 in order to locate the points of intersection of the lines and the x axis and identify the triangle in question. . The height is the y coordinate of the point of intersection of the lines y = x and y = -2x + 3 found by solving the system of equations. solve : y = -2x + 3 , y = x , solution: (1 , 1) which also the point of intersection. The y coordinate = 1 and is also the height. The length of the base is the x intercept of the line y = -2x + 3 which is x = 3/2. Area of the shaded triangle = (1/2)(1)(3/2) = 3/4 The formula for the area using two sides and the internal angle they make, may be written as follows 18 = (1/2) * 5 * 10*sin(A) which gives: sin(A) = 18/25 We now use the cosine formula to fin the length x of the third side opposing angle A as follows: x2 = 52 + 102 - 2*5*10*cos(A) with cos(A) = sqrt(1 - sin(A)2) Substitute in the expression for x2 and solve for x to obtain x = 7.46 (approximated to 3 significant digits) The area of triangle BOC is 15 and is given by (1/2) * BO * OC * sin(BOC) The area of triangle AOD is given by (1/2) * AO * OD * sin(AOD) Note that angle BOC and AOD are equal. By the theorem of the intersecting chords we have: AO * OC = BO * OD Which may be written as: AO / BO = OD / OC = 10 / 5 = 2 The ratios AO / BO and OD / OC are both equal to 2, hence their product is equal to 4 as follows (AO * OD) / (BO * OC) = 4 Which gives: AO * OD = 4 * (BO * OC) Hence the area of triangle AOD is 4 times the area of triangle BOC and is equal to 60.

Geometri Masalah dengan Solusi dan Jawaban untuk Kelas 11 Masalah geometri kelas 11 dengan solusi rinci disajikan.     Dua lingkaran di bawah ini adalah konsentris (memiliki pusat yang sama). Jari-jari lingkaran besar adalah 6 dan lingkaran kecil adalah 10. Berapa panjang dari AB akord?     geometri kelas 11 masalah 1.     Titik A berada di dalam BCDE persegi yang sisi panjang adalah 20. Panjang AB adalah 9 dan panjang AE adalah 13. Temukan X panjang AC.     geometri kelas 11 masalah 2.     Cari semua titik perpotongan lingkaran X2 + 2x + 4y + y2 = -1 dan garis x - y = 1     Tentukan luas segitiga tertutup oleh x - axis dan garis y = x dan y =-2x + 3.     Tentukan panjang sisi ketiga dari segitiga jika luas segitiga adalah 18 dan dua sisinya memiliki panjang 5 dan 10.     Pada gambar di bawah titik A, B, C dan D berada di lingkaran. O adalah titik persimpangan akord AC dan BD. Luas segitiga BOC adalah 15, sedangkan panjang dari AO adalah 10 dan panjang OB adalah 5. Apakah luas segitiga AOD?     geometri kelas 11 masalah 6. Solusi untuk Masalah Di atas     Jika kita menggambar jari-jari dalam lingkaran kecil untuk titik singgung, maka akan di sudut kanan dengan akord. (Lihat gambar bawah). Jika x adalah setengah panjang AB, r adalah jari-jari lingkaran kecil dan R jari-jari lingkaran besar maka dengan teorema Pythagora, kita memiliki:     r2 + x2 = R2     62 + x2 = 102     Selesaikan untuk x: x = 8     Panjang AB = 2x = 16     geometri kelas 11 solusi untuk masalah 1.     Gunakan hukum cosinus dalam segitiga ABE: 132 = 202 + 92 - 2 (20) (9) cos (T)     Gunakan kosinus hukum di segitiga ACB: x2 = 202 + 92 - 2 (20) (9) cos (90o - T)     geometri kelas 11 solusi untuk masalah 2.     Perhatikan bahwa cos (90o - T) = sin (T) dan menulis ulang persamaan kedua sebagai     Gunakan hukum cosinus dalam segitiga ACB: x2 = 202 + 92 - 2 (20) (9) dosa (T)     Memecahkan persamaan pertama untuk cos (T).     cos (T) = 13/15     Gunakan identitas trigonometri untuk menemukan dosa (T) = 2 sqrt (14) / 15     Pengganti dosa (T) dengan 2 sqrt (14) / 15 dalam persamaan ketiga dan menyelesaikan untuk x     x = sqrt (481-48 sqrt (14)) = 17,4 (diperkirakan sampai 3 digit signifikan)     Memecahkan x - y = 1 untuk x (x = 1 + y) dan pengganti dalam persamaan lingkaran untuk memperoleh:     (1 + y) 2 + 2 · (1 + y) + y2 + 4y = -1     Tuliskan persamaan kuadrat di atas dalam bentuk standar dan menyelesaikannya untuk mendapatkan     y = - 2 + sqrt (2) dan y = - 2 - sqrt (2)     Menggunakan x = 1 + y untuk mencari x     Titik persimpangan: (-1 + sqrt (2), - 2 + sqrt (2)) dan (-1 - sqrt (2), -2 - sqrt (2))     Kami grafik pertama garis y = x dan y =-2x + 3 dalam rangka untuk mencari titik-titik perpotongan garis dan sumbu x dan mengidentifikasi segitiga yang bersangkutan.     geometri kelas 11 solusi untuk masalah 4.     Ketinggian adalah koordinat y dari titik perpotongan dari garis y = x dan y =-2x + 3 ditemukan dengan memecahkan sistem persamaan.     memecahkan: y =-2x + 3, y = x, solusi: (1, 1) yang juga titik persimpangan. Y = 1 mengkoordinasikan dan juga ketinggian.     Panjang dasar adalah x mencegat dari garis y =-2x + 3 yang adalah x = 3/2.     Luas segitiga yang diarsir = (1/2) (1) (3/2) = 3/4     Rumus untuk daerah menggunakan dua sisi dan sudut internal yang mereka buat, dapat ditulis sebagai berikut     18 = (1/2) * 5 * 10 * sin (A)     yang memberikan: sin (A) = 18/25     Kami sekarang menggunakan rumus kosinus untuk sirip x panjang sisi ketiga menentang sudut A sebagai berikut:     x2 = 52 + 102-2 * 5 * 10 * cos (A)     dengan cos (A) = sqrt (1 - sin (A) 2)     Pemain pengganti dalam ungkapan untuk x2 dan memecahkan x untuk mendapatkan x = 7.46 (diperkirakan sampai 3 digit signifikan)     Luas segitiga BOC adalah 15 dan ditentukan oleh (1/2) * BO * OC * sin (BOC)     Luas segitiga AOD diberikan oleh (1/2) * AO * OD * sin (AOD)     Perhatikan bahwa sudut Dewan Komisaris dan AOD adalah sama.     Pada teorema akord berpotongan kita memiliki: AO * OC = BO * OD     Yang dapat ditulis sebagai: AO / BO = PK / OC = 10/5 = 2     Rasio AO / BO dan PK / OC keduanya sama dengan 2, maka produk mereka adalah sama dengan 4 sebagai berikut     (AO * OD) / (BO * OC) = 4     Yang memberikan: * AO OD = 4 * (BO * OC)     Maka luas segitiga AOD adalah 4 kali luas segitiga Dewan Komisaris dan sama dengan 60.     geometri kelas 11 solusi untuk masalah 6

Math Word Problems with Solutions for Grade 11

Grade 11 math word problems with answers and solutions are presented.

An airplane flies against the wind from A to B in 8 hours. The same airplane returns from B to A, in the same direction as the wind, in 7 hours. Find the ratio of the speed of the airplane (in still air) to the speed of the wind. Find the area between two concentric circles defined by x2 + y2 -2x + 4y + 1 = 0 x2 + y2 -2x + 4y - 11 = 0 Find all values of parameter m (a real number) so that the equation 2x2 - mx + m = 0 has no real solutions. The sum an integer N and its reciprocal is equal to 78/15. What is the value of N? m and n are integers so that 4m / 125 = 5n / 64. Find values for m and n. Simplify: 3n + 4001 + 3n + 4001 + 3n + 4001 P is a polynomial such that P(x2 + 1) = - 2 x4 + 5 x2 + 6. Find P(- x2 + 3) For what values of r would the line x + y = r be tangent to the circle x2 + y2 = 4? Solutions to the Above Problems Let x = speed of airplane in still air, y = speed of wind and D the distance between A and B. Find the ratio x / y Against the wind: D = 8(x - y), with the wind: D = 7(x + y) 8x - 8y = 7x + 7y, hence x / y = 15 Rewrite equations of circles in standard form. Hence equation x2 + y2 -2x + 4y + 1 = 0 may be written as (x - 1)2 + (y + 2) 2 = 4 = 22 and equation x2 + y2 -2x + 4y - 11 = 0 as (x - 1)2 + (y + 2) 2 = 16 = 42 Knowing the radii, the area of the ring is Pi (4)2 - Pi (2)2 = 12 Pi The given equation is a quadratic equation and has no solutions if it discriminant D is less than zero. D = (-m)2 - 4(2)(m) = m2 - 8m We nos solve the inequality m2 - 8m < 0 The solution set of the above inequality is: (0 , 8) Any value of m in the interval (0 , 8) makes the discriminat D negative and therefore the equation has no real solutions. Write equation in N as follows N + 1/N = 78/15 Multiply all terms by N, obtain a quadratic equation and solve to obtain N = 5. 4m / 125 = 5n / 64 Cross multiply: 64 4m = 125 5n Note that 64 = 43 and 125 = 53 The above equation may be written as: 4m + 3 = 5n + 3 The only values of the exponents that make the two exponential expressions equal are: m + 3 = 0 and n + 3 = 0, which gives m = - 3 and n = - 3. 3n + 4001 + 3n + 4001 + 3n + 4001 = 3(3n + 4001) = 3n + 4002 P(x2 + 1) = - 2 x4 + 5 x2 + 6 Let t = x2 + 1 which also gives x2 = t - 1 Substitute x2 by t - 1 in P to obtain: P(t) = - 2 (t - 1)2 + 5 (t - 1) + 6 = -2 t 2 + 9t - 1 Now let t = - x2 + 3 and substitute in P(t) above to obtain P(- x2 + 3) = -2 (- x2 + 3) 2 + 9 (- x2 + 3) - 1 = -2 x 4 + 3 x 2 + 8 Solve x + y = r for y: y = r - x Substitute in the equation of the circle: x2 + (r - x)2 = 4 Expand: 2 x2 -2 r x + r 2 - 4 = 0 If we solve the above quadratic equation (in x) we will obtain the x coordinates of the points of intersection of the line and the circle. The 2 points of intersection "become one" and therefore the line and the circle become tangent if the discriminant D of the quadratic equation is zero. Hence D = (-2r)2 - 4(2)(r2 - 4) = 4(8 - r2) = 0 Solve for r to obtain: r = 2sqrt(2) and r = - 2sqrt(2)

Matematika Firman Masalah dengan Solusi untuk Kelas 11 Kelas 11 soal cerita matematika dengan jawaban dan solusi yang disajikan.     Pesawat terbang melawan angin dari A B ke dalam 8 jam. Kembali pesawat yang sama dari B ke A, ke arah yang sama seperti angin, dalam 7 jam. Temukan rasio dari kecepatan pesawat (dalam masih udara) dengan kecepatan angin.     Tentukan luas antara dua lingkaran konsentris yang didefinisikan oleh     x2 + y2-2x + 4y + 1 = 0     x2 + y2-2x + 4y - 11 = 0     Cari semua nilai parameter m (bilangan real) sehingga persamaan 2x2 - mx + m = 0 tidak memiliki solusi nyata.     Jumlah N integer dan timbal balik adalah sama dengan 78/15. Apa nilai N?     m dan n adalah bilangan bulat sehingga 4m / 125 = 5n / 64. Cari nilai untuk m dan n.     Sederhanakan: 3n + 4001 + 3n + 4001 + 3n + 4001     P adalah polinomial sedemikian sehingga P (x2 + 1) = - 2 x4 + 5 x2 + 6. Cari P (- x2 + 3)     Untuk nilai-nilai r akan garis x + y = r singgung pada lingkaran x2 + y2 = 4? Solusi untuk Masalah Di atas     Misalkan x = kecepatan pesawat masih di udara, y = kecepatan angin dan D jarak antara A dan B. Cari rasio x / y     Melawan angin: D = 8 (x - y), dengan angin: D = 7 (x + y)     8x - 8y = 7x + 7y, maka x / y = 15     Menulis ulang persamaan lingkaran dalam bentuk standar. Oleh karena itu persamaan x2 + y2-2x + 4y + 1 = 0 dapat ditulis sebagai     (X - 1) 2 + (y + 2) 2 = 4 = 22     dan persamaan x2 + y2-2x + 4y - 11 = 0 sebagai     (X - 1) 2 + (y + 2) 2 = 16 = 42     Mengetahui jari-jari, daerah cincin adalah Pi (4) 2 - Pi (2) 2 = 12 Pi     Persamaan yang diberikan adalah persamaan kuadrat dan tidak memiliki solusi jika D diskriminan kurang dari nol.     D = (-m) 2 - 4 (2) (m) = m2 - 8m     Kami nos memecahkan ketidaksamaan m2 - 8m <0     Solusi set ketimpangan di atas adalah: (0, 8)     Setiap nilai m dalam interval (0, 8) membuat persamaan D discriminat negatif dan karena itu tidak memiliki solusi nyata.     Menulis persamaan dalam N sebagai berikut     N + 1 / N = 78/15     Kalikan semua istilah dengan N, mendapatkan persamaan kuadrat dan memecahkan untuk memperoleh N = 5.     4m / 125 = 5n / 64     Lintas kalikan: 64 4m = 125 5n     Perhatikan bahwa 64 = 43 dan 125 = 53     Persamaan di atas dapat ditulis sebagai: 4m + 3 = 5n + 3     Nilai-nilai hanya dari eksponen yang membuat dua ekspresi yang sama eksponensial adalah: m + 3 = 0 dan n + 3 = 0, yang memberikan m = - 3 dan n = - 3.     3n + 4001 + 3n + 4001 + 3n + 4001 = 3 (3n + 4001) = 3n + 4002     P (x2 + 1) = - 2 x4 + 5 x2 + 6     Mari t = x2 + 1 yang juga memberikan x2 = t - 1     Pemain pengganti x2 oleh t - 1 dalam P untuk memperoleh: P (t) = - 2 (t - 1) 2 + 5 (t - 1) 6 = -2 + t 2 + 9t - 1     Sekarang mari t = - x2 + 3 dan pemain pengganti dalam P (t) di atas untuk mendapatkan     P (- x2 + 3) = -2 (- x2 + 3) 2 + 9 (- x2 + 3) - 1 = -2 x 4 + 3 x 2 + 8     Memecahkan x + y = r untuk y: y = r - x     Substitusikan pada persamaan lingkaran:     x2 + (r - x) 2 = 4     Memperluas: 2 x2 -2 x + r r 2 - 4 = 0     Jika kita menyelesaikan persamaan kuadrat di atas (dalam x) kita akan mendapatkan koordinat x dari titik persimpangan dari garis dan lingkaran. 2 titik persimpangan "menjadi satu" dan karena itu garis dan lingkaran menjadi tangen jika D diskriminan dari persamaan kuadrat adalah nol. Karenanya     D = (-2r) 2 - 4 (2) (r2 - 4) = 4 (8 - r2) = 0     Memecahkan untuk r untuk mendapatkan: r = 2sqrt (2) dan r = - 2sqrt (2)

Algebra Questions with Solutions and Answers for Grade 11

Grade 11 math algebra questions with answers and solutions are presented.

Complete the square in the quadratic function f given by f(x) = 2x2 - 6x + 4 Find the point(s) of intersection of the parabola with equation y = x2 - 5x + 4 and the line with equation y = 2x - 2 Find the constant k so that : -x2 - (k + 7)x - 8 = -(x - 2)(x - 4) Find the center and radius of the circle with equation x2 + y2 -2x + 4y - 11 = 0 Find the constant k so that the quadratic equation 2x2 + 5x - k = 0 has two real solutions. Find the constant k so that the system of the two equations: 2x + ky = 2 and 5x - 3y = 7 has no solutions. Factor the expression 6x2 - 13x + 5 Simplify i231 where i is the imaginary unit and is defined as: i = sqrt(-1). What is the remainder when f(x) = (x - 2)54 is divided by x - 1? Find b and c so that the parabola with equation y = 4x2 - bx - c has a vertex at (2 , 4)? Find all zeros of the polynomial P(x) = x3 - 3x2 - 10x + 24 knowing that x = 2 is a zero of the polynomial. If x is an integer, what is the greatest value of x which satisfies 5 < 2x + 2 < 9? Sets A and B are given by: A = {2 , 3 , 6 , 8, 10} , B = {3 , 5 , 7 , 9}. a) Find the intersection of sets A and B. b) Find the union of sets A and B. Simplify | - x2 + 4x - 4 |. Find the constant k so that the line with equation y = kx is tangent to the circle with equation (x - 3)2 + (y - 5)2 = 4. Solutions to the Above Problems f(x) = 2(x2 - 3x) + 4 : factor 2 out in the first two terms = 2(x2 - 3x + (-3/2)2 - (-3/2)2) + 4 : add and subtract (-3/2)2 = 2(x - 3/2))2 + 17/2 : complete square and group like terms 2x - 2 = x2 - 5x + 4 : substitute y by 2x - 2 x = 1 and x = 6 : solution of quadratic equation (1 , 0) and (6 , 10) : points of intersection -x2 - (k + 7)x - 8 = -(x - 2)(x - 4) : given -x2 - (k + 7)x - 8 = -x2 + 6x - 8 -(k + 7) = 6 : two polynomials are equal if their corresponding coefficients are equal. k = -13 : solve the above for k x2 - 2x + y2 + 4y = 11 : Put terms in x together and terms in y together (x - 1)2 + (y + 2)2 - 1 - 4 = 11 (x - 1)2 + (y + 2)2 = 42 : write equation of circle in standard form center(1 , -2) and rdius = 4 : identify center and radius 2x2 + 5x - k = 0 : given discriminant = 25 - 4(2)(-k) = 25 + 8k 25 + 8k > 0 : quadratic equations has 2 real solutions when discriminant is positive k > -25/8 Determinant = -6 - 5k -6 - 5k = 0 : when determinant is equal to zero (and equations independent) the system has no solution k = -6/5 : solve for k 6x2 - 13x + 5 = (3x - 5)(2x - 1) Note that i<4> = 1 Note also that 231 = 4 * 57 + 3 Hence i231 = (i4)57 * i3 = 157 * -i = -i remainder = f(1) = (1 - 2)54 = 1 : remainder theorem h = b / 8 = 2 : formula for x coordinate of vertex b = 16 : solve for b y = 4 for x = 2 : the vertex point is a solution to the equation of the parabola 4(2)2 - 16(2) - c = 4 c = -20 : solve for c divide P(x) by (x - 2) to obtain x2 - x + 12 P(x) = (x2 - x + 12)(x - 2) = (x - 4)(x + 3)(x - 2) : factor the quadratic term the zeros are : 4 , -3 and 2 5 < 2x + 2 < 9 : given 3/2 < x < 7/2 the greatest integer value of is 3 (the integer less than 7/2) A intersection B = {3} : common element to both A and B is 3 A union B = {2 , 3 , 6 , 8, 10 , 5 , 7 , 9} : all elements of A and B are in the union. Elements common to both A and B are listed once only since it is a set. | - x2 + 4x - 4 | : given = | -(x2 + 4x - 4) | = | -(x - 2)2 | = (x - 2)2 (x - 3)2 + (y - 5)2 = 4 : given (x - 3)2 + (kx - 5)2 = 4 : substitute y by kx x2(1 + k2) - x(6 + 10k) + 21 = 0 : expand and write quadratic equation in standard form. (6 + 10k)2 - 4(1 + k2)(21) = 0 : For the circle and the line y = kx to be tangent, the discriminant of the above quadratic equation must be equal to zero. 16k2 + 120k - 48 = 0 : expand above equation k = (-15 + sqrt(273)/4 , k = (-15 - sqrt(273)/4 : solve the above quadratic equation.

Aljabar Pertanyaan dengan Solusi dan Jawaban untuk Kelas 11
Kelas 11 pertanyaan aljabar matematika dengan jawaban dan solusi yang disajikan.




    Lengkapi alun-alun di f fungsi kuadrat yang diberikan oleh
    f (x) = 2x2 - 6x + 4

    Cari titik (s) dari perpotongan dari parabola dengan persamaan y = x2 - 5x + 4 dan garis dengan persamaan y = 2x - 2

    Cari k konstan sehingga:-x2 - (k + 7) x - 8 = - (x - 2) (x - 4)

    Cari pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan x2 + y2-2x + 4y - 11 = 0

    Cari konstanta k sehingga persamaan kuadrat 2x2 + 5x - k = 0 memiliki dua solusi nyata.

    Cari konstanta k sehingga sistem dari dua persamaan: 2x + ky = 2 dan 5x - 3y = 7 tidak memiliki solusi.

    Faktor ekspresi 6x2 - 13X + 5

    Sederhanakan i231 di mana i adalah satuan imajiner dan didefinisikan sebagai: i = sqrt (-1).

    Apakah sisanya ketika f (x) = (x - 2) 54 dibagi dengan x - 1?

    Cari b dan c sehingga parabola dengan persamaan y = 4x2 - bx - c memiliki simpul di (2, 4)?

    Cari semua nol dari polinomial P (x) = x3 - 3x2 - 10x + 24 mengetahui bahwa x = 2 adalah nol dari polinomial.

    Jika x adalah integer, berapakah nilai terbesar dari x yang memenuhi 5 <2x + 2 <9?

    Set A dan B diberikan oleh: A = {2, 3, 6, 8, 10}, B = {3, 5, 7, 9}.
    a) Tentukan persimpangan set A dan B.
    b) Tentukan persatuan set A dan B.

    Sederhanakan | - x2 + 4x - 4 |.

    Cari konstanta k sehingga sejalan dengan persamaan y = kx bersinggungan dengan lingkaran dengan persamaan (x - 3) 2 + (y - 5) 2 = 4.
Solusi untuk Masalah Di atas

        f (x) = 2 (x2 - 3x) + 4: faktor 2 keluar dalam pertama dua istilah
        = 2 (x2 - 3x + (-3 / 2) 2 - (-3 / 2) 2) + 4: menambah dan mengurangi (-3 / 2) 2
        = 2 (x - 3/2)) 2 + 17/2: persegi lengkap dan kelompok seperti istilah
        2x - 2 = x2 - 5x + 4: pengganti y oleh 2x - 2
        x = 1 dan x = 6: solusi dari persamaan kuadrat
        (1, 0) dan (6, 10): titik persimpangan
        -X2 - (k + 7) x - 8 = - (x - 2) (x - 4): diberikan
        -X2 - (k + 7) x - 8 =-x2 + 6x - 8
        - (K + 7) = 6: dua polinomial adalah sama jika koefisien yang sesuai mereka adalah sama.
        k = -13: memecahkan di atas untuk k
        x2 - 2x + y2 + 4y = 11: Masukan istilah dalam x sama dan istilah di y bersama
        (X - 1) 2 + (y + 2) 2 - 1 - 4 = 11
        (X - 1) 2 + (y + 2) 2 = 42: menulis persamaan lingkaran dalam bentuk standar
        pusat (1, -2) dan rdius = 4: mengidentifikasi pusat dan jari-jari
        2x2 + 5x - k = 0: diberikan
        diskriminan = 25 - 4 (2) (-k) = 25 + 8k
        25 + 8k> 0: persamaan kuadrat memiliki 2 solusi nyata ketika diskriminan positif
        k> -25 / 8
        Determinan = -6 - 5k
        -6 - 5k = 0: ketika determinan sama dengan nol (dan persamaan independen) sistem tidak memiliki solusi
        k = -6 / 5: memecahkan untuk k
        6x2 - 13X + 5 = (3x - 5) (2x - 1)
        Perhatikan bahwa i <4> = 1
        Perhatikan juga bahwa 231 = 4 * 57 + 3
        Oleh karena i231 = (i4) 57 * i3
        = 157 *-i =-i
        sisa = f (1) = (1 - 2) 54 = 1: teorema sisa
        h = b / 8 = 2: rumus untuk x koordinat dari titik
        b = 16: memecahkan b
        y = 4 untuk x = 2: titik simpul merupakan solusi untuk persamaan parabola
        4 (2) 2 - 16 (2) - c = 4
        c = -20: memecahkan untuk c
        membagi P (x) oleh (x - 2) untuk memperoleh x2 - x + 12
        P (x) = (x2 - x + 12) (x - 2)
        = (X - 4) (x + 3) (x - 2): faktor jangka kuadrat
        angka nol adalah: 4, -3 dan 2
        5 <2x + 2 <9: diberikan
        3/2 <x <7/2
        nilai integer terbesar adalah 3 (bilangan bulat kurang dari 7/2)
        Persimpangan A dan B = {3}: elemen umum untuk A dan B adalah 3
        Sebuah serikat B = {2, 3, 6, 8, 10, 5, 7, 9}: semua elemen A dan B berada dalam serikat. Elemen umum untuk A dan B tercantum sekali hanya karena merupakan satu set.
        | - X2 + 4x - 4 |: diberikan
        = | - (X2 + 4x - 4) |
        = | - (X - 2) 2 |
        = (X - 2) 2
        (X - 3) 2 + (y - 5) 2 = 4: diberikan
        (X - 3) 2 + (kx - 5) 2 = 4: pengganti y oleh kx
        x2 (1 + k2) - x (6 + 10k) + 21 = 0: memperluas dan menulis persamaan kuadrat dalam bentuk standar.
        (6 + 10k) 2 - 4 (1 + k2) (21) = 0: Untuk lingkaran dan garis y = kx untuk tangen, diskriminan dari persamaan kuadrat di atas harus sama dengan nol.
        16k2 + 120k - 48 = 0: memperluas persamaan di atas
        k = (-15 + sqrt (273) / 4, k = (-15 - sqrt (273) / 4: memecahkan persamaan kuadrat di atas.