Trigonometry Problems and Questions with Solutions - Grade 11

Grade 11 trigonometry problems and questions with answers and solutions are presented.

A ferris wheel with a radius of 25 meters makes one rotation every 36 seconds. At the bottom of the ride, the passenger is 1 meter above the ground. a) Let h be the height, above ground, of a passenger. Determine h as a function of time if h = 51 meter at t = 0. b) Find the height h after 45 seconds. Linda measures the angle of elevation from a point on the ground to the top of the tree and find it to be 35o. She then walks 20 meters towards the tree and finds the angle of elevation from this new point to the top of the tree to be 45o. Find the height of the tree. (Round answer to three significant digits) From the top of a cliff 200 meters high, the angles of depression of two fishing boats in the same line of sight on the water are 13 degrees and 15 degrees. How far apart are the boats? (Round your answer to 4 significant digits) Prove that [ cos(x) - sin(x) ][ cos(2x) - sin(2x) ] = cos(x) - sin(3x) The graph of function f is the graph of function g(x) = a sin(x - pi/3) translated vertically by 2. Also f(pi/2) = 1. Find a formula in terms of x for function f. Find sin(x) and tan(x) if cos(pi/2 - x) = - 3/5 and sin(x + pi/2) = 4/5? Find the exact value of [ tan (25o)+ tan (50o ] / [ 1 - tan( 25o) tan(50o) ] What is the angle B of triangle ABC, given that A = 46o, b = 4 and c = 8?(Note: side a faces angle A, side b faces angle B and side c faces angle C). Find the exact value of tan (s + t) given that sin s = 1/4, with s in quadrant 2, and sin t = -1/2, with t in quadrant 4. Find all angles of a triangle with sides 9, 12 and 15. Write an equation for a sine function with an amplitude of 5/3 , a period of pi/2, and a vertical shift of 4 units up. Find the exact values of cos (13pi/12). Two gears are interconnected. The smaller gear has a radius of 4 inches, and the larger gear has a radius of 10 inches. The smaller gear rotates 890 degrees in 4 seconds. What is the angular speed, in degrees per minute, of the larger rotate? A ladder of length 20 meters is resting against the wall. The base of the ladder is x meters away from the base of the wall and the angle made by the wall and the ladder is t. a) Find x in terms of t. b) Starting from t = 0 (the ladder against the wall) and then gradually increase angle t; for what size of angle t will x be the quarter of the length of the ladder? Solutions to the Above Problems a) Let P be the position of the passenger (see figure below) . The height h of the passenger is given by h = 1 + 25 + y = y + 26 y depends on the angle of rotation A. sin(pi/2 - A) = y/25 which gives y = 25 cos(A) Angle A depends on the angular speed w as follws A = w t where t is the time. The angular speed w is given by w = 2pi / 36 = Pi / 18 (radians/second) We now substitute to find h as follows h(t) = 25 cos( (pi/18) t) + 26 , where t is in seconds and y in meters. b) h(45) = 25 cos( (pi/18) 45) + 26 = 25 cos(3pi/2) + 26 = 26 meters. Using the figure belwo we write the following equations: tan(35o) = h / x and tan(45o) = h / (x - 20) , where h is the height of the tree. Solve both equations for x to find x = h / tan(35o) and x = h / tan(45o) + 20 Which gives h / tan(35o) = h / tan(45o) + 20 Solve for h; h = [ 20 tan(35o) tan(45o) ] / [ tan(45o) - tan(35o) ] = 46.7 meters (3 significant digits) . Using the figure belwo we write the following equations: tan(75o) = y / 200 and tan(87o) = (y + x) / 200 Eliminate y from the two equations and solve for x: x = 200 [ tan(87o) - tan(75o) ] = 3070 meters (rounded to 4 significant figures) . Start with right hand side: cos(x) - sin(3x) = cos(x) - sin( x + 2x) = cos(x) - sin(x)cos(2x) - cos(x)sin(2x) We now expand the left hand side: [ cos(x) - sin(x) ][ cos(2x) - sin(2x) ] = cos(x) cos(2x) - cos(x) sin(2x) - sin(x) cos(2x) + sin(x) sin(2x) Use the identities cos(2x) = 1 - 2 sin2 and sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) to transform the first two terms (only) in the above expression. = cos(x)(1 - 2 sin2) + sin(x) 2 sin(x) cos(x) - cos(x) sin(2x) - sin(x) cos(2x) = cos(x) - 2 cos(x) sin2 + 2 cos(x) sin2 - cos(x) sin(2x) - sin(x) cos(2x) = cos(x) - cos(x) sin(2x) - sin(x) cos(2x) The left hand side has been transformed so that it is equal to the right hand side. f has the following form f(x) = a sin(x - pi/3) + 2 : shifting graph of g 2 units up. f(pi/2) = a sin(pi/2 - pi/3) + 2 = 1 Solve for a to find a = -2 f(x) = -2 sin(x - pi/3) + 2 Expand and simplify: cos(pi/2 - x) = cos(pi/2)cos(x) + sin(pi/2)sin(x) = sin(x) = -3/5 Expand and simplify: sin(x + pi/2) = sin(x) cos(pi/2) + cos(x) sin(pi/2) = cos(x) = 4/5 tan(x) = sin(x) / cos(x) = (-3/5) / (4/5) = -3/4 The addition formula for the tangent may be used to write [ tan (25o)+ tan (50o) ] / [ 1 - tan( 25o) tan(50o) ] = tan(25o + 50o) = tan(75o) = tan(45o + 30o) = [ tan(45o) + tan(30o) ] / [1 - tan(45o)tan(30o) ] = [ 1 + sqrt(3) / 3 ] / [ 1 - 1*sqrt(3) / 3 ] = sqrt(3) + 2 Use cosine rule to find side a a = sqrt(16 + 64 - 2*4*8*cos(46o)) We now use the sine rule to find angle B as follows sin(B) / 4 = sin(A) / a B = arcsin (4 sin(A) / a) = 29 degrees (rounded to the nearest unit) Given sin(s) = 1/4 and sin(t) = -1/2 and their quadrants, find cos(s) and cos(t). cos(s) = - sqrt(15) / 4 and cos(t) = sqrt(3) / 2 We now expand: tan (s + t) = sin(s + t) / cos(s + t) = [ sin(s)cos(t) + cos(s)sin(t) ] / [ cos(s)cos(t) - sin(s)sin(t) ] Substitute = - [ 4 sqrt(3) + sqrt(15) ] / 11 Note that 152 = 122 + 92 which means that the triangle in question is a right trangle. Let A be the angle facing side with length 9; hence sin(A) = 9/15 A = 37o (rounded to the nearest degree) The third angle = 90o - 37o = 53o y = (5/3) sin(B x) + 4 , B > 0 2 pi / B = pi/2 , solve for B: B = 4 y = (5/3) sin(4 x) + 4 cos(13 pi/12) = cos(pi/12 + pi) = - cos(pi/12) = - cos( (1/2)(pi/6) ) = - sqrt [ ( (1/2)(1 + cos(pi/6)) ] half angle formula = - sqrt [ 1/2 + srqt(3) / 4 ] Let R1 and R2 be the radii of gear 1 and 2. Let S1 and S2 be the arcs of rotation of gears 1 and 2. The interconnected gears have equal tangential velocity (measured in inches/second), therefore arcs S1 and S2 are equal in length. R1 * t1 = R2 * t2 t1 and t2 are the angles of rotation of the larger and smaller gears respectively. 10 * t1 = 4 * 890o t1 = 356o Angular speed = 356o / 4 second = 89o / second = 89o * 60 / (1 second * 60) = 5340o / minute . The ladder, the wall and the ground make a rigth a right triangle. Hence a) tan(t) = x / 20 or x = 20 tan(t) b) x = (1/4) 20 = 20 tan(t) Solve for t: t = arctan(1/4) = 14o (rounded to 2 significant digits)

Trigonometri Masalah dan Pertanyaan dengan Solusi - Kelas 11 Masalah trigonometri kelas 11 dan pertanyaan dengan jawaban dan solusi yang disajikan.     Sebuah roda Ferris dengan radius 25 meter membuat satu putaran setiap 36 detik. Di bagian bawah perjalanan, penumpang adalah 1 meter di atas tanah.     a) Misalkan h adalah ketinggian, di atas tanah, dari penumpang. Tentukan h sebagai fungsi waktu jika h = 51 meter di t = 0.     b) Tentukan h tinggi setelah 45 detik.     Linda mengukur sudut elevasi dari titik di tanah ke puncak pohon dan merasa menjadi 35o. Dia kemudian berjalan 20 meter ke arah pohon itu dan menemukan sudut elevasi dari titik baru ke atas pohon untuk menjadi 45o. Cari ketinggian pohon. (Jawaban Putaran ke tiga digit signifikan)     Dari puncak tebing 200 meter, sudut depresi dari dua kapal nelayan di baris yang sama dari pandangan di atas air adalah 13 derajat dan 15 derajat. Seberapa jauh terpisah adalah perahu? (Bulatkan jawaban Anda sampai 4 angka signifikan)     Buktikan bahwa [cos (x) - sin (x)] [cos (2x) - sin (2x)] = cos (x) - sin (3x)     Grafik fungsi f adalah grafik fungsi g (x) = a sin (x - pi / 3) diterjemahkan secara vertikal dengan 2. Juga f (pi / 2) = 1. Menemukan formula dalam hal x untuk fungsi f.     Cari dosa (x) dan tan (x) jika cos (pi / 2 - x) = - 3/5 dan dosa (x + pi / 2) = 4/5?     Cari nilai yang tepat dari [tan (25o) + tan (50o] / [1 - tan (25o) tan (50o)]     Apakah B sudut segitiga ABC, mengingat bahwa A = 46o, b = 4 dan c = 8? (Catatan: sisi menghadapi sudut A, sisi b menghadapi sudut B dan sisi c menghadapi sudut C).     Cari nilai yang tepat dari tan (s + t) mengingat bahwa dosa s = 1/4, dengan di kuadran 2, dan dosa t = -1 / 2, dengan t pada kuadran 4.     Cari semua sudut dari sebuah segitiga dengan sisi 9, 12 dan 15.     Menulis persamaan untuk fungsi sinus dengan amplitudo 5/3, masa pi / 2, dan pergeseran vertikal sampai 4 unit.     Menemukan nilai-nilai yang tepat dari cos (13pi/12).     Dua roda gigi saling berhubungan. Roda yang lebih kecil memiliki radius 4 inci, dan roda gigi yang lebih besar memiliki radius 10 inci. Gigi kecil berputar 890 derajat dalam 4 detik. Berapa kecepatan sudut, dalam derajat per menit, dari memutar yang lebih besar?     Sebuah tangga panjang 20 meter sedang beristirahat dinding. Dasar tangga adalah meter x jauh dari dasar dinding dan sudut yang dibuat oleh dinding dan tangga adalah t.     a) Tentukan x dalam hal t.     b) Mulai dari t = 0 (tangga ke dinding) dan kemudian secara bertahap meningkatkan t sudut, karena apa ukuran t sudut x akan menjadi kuartal dari panjang tangga? Solusi untuk Masalah Di atas     a) Misalkan P adalah posisi penumpang (lihat gambar bawah)     roda Ferris masalah solusi.     H ketinggian penumpang diberikan oleh     h = 1 + 25 + y = y + 26     y tergantung pada sudut rotasi dari A.     dosa (pi / 2 - A) = y/25 yang memberikan y = 25 cos (A)     Sudut A tergantung pada kecepatan sudut w sebagai follws     A = w t dimana t adalah waktu.     Kecepatan w sudut diberikan oleh     w = 2pi / 36 = Pi / 18 (radian / detik)     Kami sekarang menemukan pengganti h sebagai berikut h (t) = 25 cos ((pi/18) t) + 26, dimana t dalam detik dan y dalam meter.     b) h (45) = 25 cos ((pi/18) 45) + 26 = 25 cos (3pi / 2) + 26 = 26 meter.     Menggunakan belwo tokoh kita menulis persamaan berikut:     tan (35o) = h / x dan tan (45o) = h / (x - 20), di mana h adalah tinggi dari pohon.     Memecahkan kedua persamaan untuk x untuk menemukan     x = h / tan (35o) dan x = h / tan (45o) + 20     Yang memberikan h / tan (35o) = h / tan (45o) + 20     Memecahkan untuk h, h = [20 tan (35o) tan (45o)] / [tan (45o) - tan (35o)] = 46,7 meter (3 digit signifikan)     pohon masalah solusi.     Menggunakan belwo tokoh kita menulis persamaan berikut:     tan (75o) = y / 200 dan tan (87o) = (y + x) / 200     Hilangkan y dari dua persamaan dan memecahkan untuk x: x = 200 [tan (87o) - tan (75o)] = 3070 meter (dibulatkan menjadi 4 angka penting)     perahu masalah solusi.     Mulailah dengan sisi kanan: cos (x) - sin (3x) = cos (x) - sin (x + 2x)     = Cos (x) - sin (x) cos (2x) - cos (x) sin (2x)     Kami sekarang memperluas sisi kiri: [cos (x) - sin (x)] [cos (2x) - sin (2x)]     = Cos (x) cos (2x) - cos (x) sin (2x) - sin (x) cos (2x) + sin (x) sin (2x)     Gunakan identitas cos (2x) = 1 - 2 sin2 dan dosa (2x) = 2 sin (x) cos (x) untuk mengubah dua istilah pertama (hanya) dalam ekspresi di atas.     = Cos (x) (1 - 2 sin2) + sin (x) 2 sin (x) cos (x) - cos (x) sin (2x) - sin (x) cos (2x)     = Cos (x) - 2 cos (x) sin2 + 2 cos (x) sin2 - cos (x) sin (2x) - sin (x) cos (2x)     = Cos (x) - cos (x) sin (2x) - sin (x) cos (2x)     Sisi kiri telah berubah sehingga sama dengan sisi kanan.     f memiliki bentuk berikut f (x) = a sin (x - pi / 3) + 2: pergeseran grafik dari g sampai 2 unit.     f (pi / 2) = a sin (pi / 2 - pi / 3) + 2 = 1     Memecahkan untuk menemukan = -2     f (x) = -2 sin (x - pi / 3) + 2     Memperluas dan menyederhanakan: cos (pi / 2 - x) = cos (pi / 2) cos (x) + sin (pi / 2) sin (x) = sin (x) = -3 / 5     Memperluas dan menyederhanakan: sin (x + pi / 2) = sin (x) cos (pi / 2) + cos (x) sin (pi / 2) = cos (x) = 4/5     tan (x) = sin (x) / cos (x) = (-3 / 5) / (4/5) = -3 / 4     Rumus Selain untuk tangen dapat digunakan untuk menulis     [Tan (25o) + tan (50o)] / [1 - tan (25o) tan (50o)] = tan (25o + 50o)     = Tan (75o)     = Tan (45o + 30o)     = [Tan (45o) + tan (30o)] / [1 - tan (45o) tan (30o)]     = [1 + sqrt (3) / 3] / [1 - 1 * sqrt (3) / 3]     = Sqrt (3) + 2     Gunakan aturan cosinus untuk menemukan sisi     sebuah sqrt = (16 + 64 - 2 * 4 * 8 * cos (46o))     Kami sekarang menggunakan aturan sinus untuk menemukan sudut B sebagai berikut     dosa (B) / 4 = sin (A) / a     B = arcsin (4 sin (A) / a) = 29 derajat (dibulatkan ke satuan terdekat)     Mengingat dosa (s) = 1/4 dan sin (t) = -1 / 2 dan kuadran mereka, menemukan cos (s) dan cos (t).     cos (s) = - sqrt (15) / 4 dan cos (t) = sqrt (3) / 2     Kami sekarang memperluas:     tan (s + t) = sin (s + t) / cos (s + t)     = [Sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)] / [cos (s) cos (t) - sin (s) sin (t)]     Menggantikan     = - [4 sqrt (3) + sqrt (15)] / 11     Perhatikan bahwa 152 = 122 + 92 yang berarti bahwa segitiga yang dimaksud adalah trangle benar.     Misalkan A adalah sudut menghadap sisi dengan panjang 9; maka sin (A) = 9/15     Sebuah 37o = (dibulatkan ke derajat terdekat)     Sudut ketiga = 90o - 37o = 53o     y = (5/3) dosa (B x) + 4, B> 0     2 pi / B = pi / 2, memecahkan B: B = 4     y = (5/3) dosa (4 x) + 4     cos (13 pi/12) = cos (pi/12 + pi) = - cos (pi/12)     = - Cos ((1/2) (pi / 6)) = - sqrt [((1/2) (1 + cos (pi / 6))] Rumus setengah sudut     = - Sqrt [1/2 + srqt (3) / 4]     Biarkan R1 dan R2 adalah jari-jari roda gigi 1 dan 2. Mari S1 dan S2 menjadi busur rotasi roda gigi 1 dan 2. Roda gigi yang saling berhubungan memiliki kecepatan tangensial yang sama (diukur dalam inci / detik), sehingga busur S1 dan S2 adalah sama panjangnya.     * R1 = R2 * t1 t2     t1 dan t2 adalah sudut rotasi dari roda gigi yang lebih besar dan lebih kecil masing-masing.     10 * t1 = 4 * 890o     t1 = 356o     Sudut kecepatan = 356o / 4 detik = 89o / detik     = 89o * 60 / (1 detik * 60) = 5340o / menit     gigi masalah solusi.     Tangga, dinding dan tanah membuat rigth segitiga siku-siku. Karenanya     a) tan (t) = x / 20 atau x = 20 tan (t)     b) x = (1/4) 20 = 20 tan (t) untuk t Memecahkan: t = arctan (1/4) = 14o (dibulatkan menjadi 2 angka penting)