Geometry Problems with Solutions and Answers for Grade 11

Grade 11 geometry problems with detailed solutions are presented.

The two circles below are concentric (have same center). The radius of the large circle is 6 and that of the small circle is 10. What is the length of the chord AB? . Point A is inside the square BCDE whose side length is 20. The length of AB is 9 and the length of AE is 13. Find x the length of AC. . Find all points of intersections of the circle x2 + 2x + y2 + 4y = -1 and the line x - y = 1 Find the area of the triangle enclosed by the x - axis and the lines y = x and y = -2x + 3. Find the length of the third side of a triangle if the area of the triangle is 18 and two of its sides have lengths of 5 and 10. In the figure below points A, B, C and D are on a circle. Point O is the intersection of chords AC and BD. The area of triangle BOC is 15; the lenght of AO is 10 and the length of OB is 5. What is the area of triangle AOD? . Solutions to the Above Problems If we draw a radius in the small circle to the point of tangency, it will be at right angle with the chord.(see figure below). If x is half the length of AB, r is the radius of the small circle and R the radius of the large circle then by Pythagora's theorem we have: r2 + x2 = R2 62 + x2 = 102 Solve for x: x = 8 Length of AB = 2x = 16 . Use cosine law in triangle ABE: 132 = 202 + 92 - 2(20)(9)cos(T) Use cosine law in triangle ACB: x2 = 202 + 92 - 2(20)(9)cos(90o - T) . Note that cos(90o - T) = sin(T) and rewrite the second equation as Use cosine law in triangle ACB: x2 = 202 + 92 - 2(20)(9)sin(T) Solve the first equation for cos(T). cos(T) = 13/15 Use trigonometric identity to find sin(T) = 2 sqrt(14) / 15 Substitute sin(T) by 2 sqrt(14) / 15 in the third equation and solve for x x = sqrt( 481 - 48 sqrt( 14 ) ) = 17.4 (approximated to 3 significant digits) Solve x - y = 1 for x (x = 1 + y) and substitute in the equation of the circle to obtain: (1 + y)2 + 2·(1 + y) + y2 + 4y = -1 Write the above quadratic equation in standard form and solve it to obtain y = - 2 + sqrt(2) and y = - 2 - sqrt(2) Use x = 1 + y to find x Points of intersection: ( -1 + sqrt(2), - 2 + sqrt(2) ) and ( -1 - sqrt(2) , -2 - sqrt(2) ) We first graph the lines y = x and y = -2x + 3 in order to locate the points of intersection of the lines and the x axis and identify the triangle in question. . The height is the y coordinate of the point of intersection of the lines y = x and y = -2x + 3 found by solving the system of equations. solve : y = -2x + 3 , y = x , solution: (1 , 1) which also the point of intersection. The y coordinate = 1 and is also the height. The length of the base is the x intercept of the line y = -2x + 3 which is x = 3/2. Area of the shaded triangle = (1/2)(1)(3/2) = 3/4 The formula for the area using two sides and the internal angle they make, may be written as follows 18 = (1/2) * 5 * 10*sin(A) which gives: sin(A) = 18/25 We now use the cosine formula to fin the length x of the third side opposing angle A as follows: x2 = 52 + 102 - 2*5*10*cos(A) with cos(A) = sqrt(1 - sin(A)2) Substitute in the expression for x2 and solve for x to obtain x = 7.46 (approximated to 3 significant digits) The area of triangle BOC is 15 and is given by (1/2) * BO * OC * sin(BOC) The area of triangle AOD is given by (1/2) * AO * OD * sin(AOD) Note that angle BOC and AOD are equal. By the theorem of the intersecting chords we have: AO * OC = BO * OD Which may be written as: AO / BO = OD / OC = 10 / 5 = 2 The ratios AO / BO and OD / OC are both equal to 2, hence their product is equal to 4 as follows (AO * OD) / (BO * OC) = 4 Which gives: AO * OD = 4 * (BO * OC) Hence the area of triangle AOD is 4 times the area of triangle BOC and is equal to 60.

Geometri Masalah dengan Solusi dan Jawaban untuk Kelas 11 Masalah geometri kelas 11 dengan solusi rinci disajikan.     Dua lingkaran di bawah ini adalah konsentris (memiliki pusat yang sama). Jari-jari lingkaran besar adalah 6 dan lingkaran kecil adalah 10. Berapa panjang dari AB akord?     geometri kelas 11 masalah 1.     Titik A berada di dalam BCDE persegi yang sisi panjang adalah 20. Panjang AB adalah 9 dan panjang AE adalah 13. Temukan X panjang AC.     geometri kelas 11 masalah 2.     Cari semua titik perpotongan lingkaran X2 + 2x + 4y + y2 = -1 dan garis x - y = 1     Tentukan luas segitiga tertutup oleh x - axis dan garis y = x dan y =-2x + 3.     Tentukan panjang sisi ketiga dari segitiga jika luas segitiga adalah 18 dan dua sisinya memiliki panjang 5 dan 10.     Pada gambar di bawah titik A, B, C dan D berada di lingkaran. O adalah titik persimpangan akord AC dan BD. Luas segitiga BOC adalah 15, sedangkan panjang dari AO adalah 10 dan panjang OB adalah 5. Apakah luas segitiga AOD?     geometri kelas 11 masalah 6. Solusi untuk Masalah Di atas     Jika kita menggambar jari-jari dalam lingkaran kecil untuk titik singgung, maka akan di sudut kanan dengan akord. (Lihat gambar bawah). Jika x adalah setengah panjang AB, r adalah jari-jari lingkaran kecil dan R jari-jari lingkaran besar maka dengan teorema Pythagora, kita memiliki:     r2 + x2 = R2     62 + x2 = 102     Selesaikan untuk x: x = 8     Panjang AB = 2x = 16     geometri kelas 11 solusi untuk masalah 1.     Gunakan hukum cosinus dalam segitiga ABE: 132 = 202 + 92 - 2 (20) (9) cos (T)     Gunakan kosinus hukum di segitiga ACB: x2 = 202 + 92 - 2 (20) (9) cos (90o - T)     geometri kelas 11 solusi untuk masalah 2.     Perhatikan bahwa cos (90o - T) = sin (T) dan menulis ulang persamaan kedua sebagai     Gunakan hukum cosinus dalam segitiga ACB: x2 = 202 + 92 - 2 (20) (9) dosa (T)     Memecahkan persamaan pertama untuk cos (T).     cos (T) = 13/15     Gunakan identitas trigonometri untuk menemukan dosa (T) = 2 sqrt (14) / 15     Pengganti dosa (T) dengan 2 sqrt (14) / 15 dalam persamaan ketiga dan menyelesaikan untuk x     x = sqrt (481-48 sqrt (14)) = 17,4 (diperkirakan sampai 3 digit signifikan)     Memecahkan x - y = 1 untuk x (x = 1 + y) dan pengganti dalam persamaan lingkaran untuk memperoleh:     (1 + y) 2 + 2 · (1 + y) + y2 + 4y = -1     Tuliskan persamaan kuadrat di atas dalam bentuk standar dan menyelesaikannya untuk mendapatkan     y = - 2 + sqrt (2) dan y = - 2 - sqrt (2)     Menggunakan x = 1 + y untuk mencari x     Titik persimpangan: (-1 + sqrt (2), - 2 + sqrt (2)) dan (-1 - sqrt (2), -2 - sqrt (2))     Kami grafik pertama garis y = x dan y =-2x + 3 dalam rangka untuk mencari titik-titik perpotongan garis dan sumbu x dan mengidentifikasi segitiga yang bersangkutan.     geometri kelas 11 solusi untuk masalah 4.     Ketinggian adalah koordinat y dari titik perpotongan dari garis y = x dan y =-2x + 3 ditemukan dengan memecahkan sistem persamaan.     memecahkan: y =-2x + 3, y = x, solusi: (1, 1) yang juga titik persimpangan. Y = 1 mengkoordinasikan dan juga ketinggian.     Panjang dasar adalah x mencegat dari garis y =-2x + 3 yang adalah x = 3/2.     Luas segitiga yang diarsir = (1/2) (1) (3/2) = 3/4     Rumus untuk daerah menggunakan dua sisi dan sudut internal yang mereka buat, dapat ditulis sebagai berikut     18 = (1/2) * 5 * 10 * sin (A)     yang memberikan: sin (A) = 18/25     Kami sekarang menggunakan rumus kosinus untuk sirip x panjang sisi ketiga menentang sudut A sebagai berikut:     x2 = 52 + 102-2 * 5 * 10 * cos (A)     dengan cos (A) = sqrt (1 - sin (A) 2)     Pemain pengganti dalam ungkapan untuk x2 dan memecahkan x untuk mendapatkan x = 7.46 (diperkirakan sampai 3 digit signifikan)     Luas segitiga BOC adalah 15 dan ditentukan oleh (1/2) * BO * OC * sin (BOC)     Luas segitiga AOD diberikan oleh (1/2) * AO * OD * sin (AOD)     Perhatikan bahwa sudut Dewan Komisaris dan AOD adalah sama.     Pada teorema akord berpotongan kita memiliki: AO * OC = BO * OD     Yang dapat ditulis sebagai: AO / BO = PK / OC = 10/5 = 2     Rasio AO / BO dan PK / OC keduanya sama dengan 2, maka produk mereka adalah sama dengan 4 sebagai berikut     (AO * OD) / (BO * OC) = 4     Yang memberikan: * AO OD = 4 * (BO * OC)     Maka luas segitiga AOD adalah 4 kali luas segitiga Dewan Komisaris dan sama dengan 60.     geometri kelas 11 solusi untuk masalah 6